关于无穷小主部的求法

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I. 基础：待定系数法

简单而言，就是用主部的形式写下来解方程: \[ \lim_{x \rightarrow {x_0}}\cfrac{f(x)}{c\cdot x^p} = 1 \] 原理很简单，但是过程挺麻烦，适合用来直接证明主项。有时候用洛必达法则也会变简单（但是为什么不泰勒展开呢？）

II. 通用方法：泰勒展开

结论放在这里，证明过程先咕咕了 \[ 设有f(x)=\sum r_ix^{p_i} \ \ (r_i \in R^{\star}) \]

则记主项为 \[ o(f(x))=r_1x^{p_1} \] 一句话就是第一个非零的展开项。

III. 常用结论

泰勒展开也巨慢了，还容易错，下面是些结论。

  • \(\omega(1-\cos{x}) = \cfrac{x^2}2\)

  • \(\omega((1+x)^r-1) = rx\)

  • \(\omega(e^x - 1) = x\)

  • \(\omega(ln(1+x)) = x\)

  • \(\omega(\arcsin{x}) = x\)

  • \(\omega(\arctan{x}) = x\)

注意里面的x全部可以被替换为任意无穷小量。